- Funktionenfolge
- Funktionenfolge,eine Folge von reellen Funktionen fn(x), die sämtlich über der Menge der reellen Zahlen erklärt sind (Funktionenfolge im Reellen). Die Funktionenfolge {fn(x)} heißt auf A gleichmäßig beschränkt, wenn sich eine reelle Zahl K > 0 angeben lässt, sodass | fn(x) | < K für alle n und alle x aus A gilt. Die Funktionenfolge ist konvergent, wenn für jeden Punkt x0 aus A die Zahlenfolge {fn(x0)} konvergiert; die dadurch auf A definierte Funktion f(x) wird die Grenzfunktion der konvergenten Folge {fn(x)} genannt. Die Folge {fn(x)} ist auf A gleichmäßig konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N (ε) gibt, sodass | fn(x) — f(x) | < ε für alle n ≧ N (ε) und alle x aus A gilt. Eine Funktionenfolge {fn(x)} wird auf einem abgeschlossenen Intervall I als gleichgradig stetig bezeichnet, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ (ε) > 0 gibt, sodass | fn(x) — fn(x0) | < ε für alle n und alle x aus I mit | x — x0 | < δ (ε ) gilt. Die aus den Gliedern fn(x) einer Funktionenfolge {fn(x)} gebildete unendliche Reihe nennt man eine Funktionenreihe. Wendet man die obigen Begriffsbildungen auf die Folgen der Teilsummen dieser Reihen an, so erhält man die analogen Begriffe für Funktionenreihen. Beispiele für Funktionenreihen sind Potenzreihen und Fourier-Reihen.
Universal-Lexikon. 2012.
